Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
AB = CD

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:
AB = CD

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
34 = 68

Razões especiais

1-Escala:
É a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real.
E=Desenho
Realidade
exemplo:
Um edifício tem 30 m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15 cm .





ou


Velocidade-
O primeiro passo para interpretarmos, de forma lógica, o movimento dos corpos é compreendermos o conceito de velocidade como a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo gasto pelo corpo que está sendo observado e estudado.
Essa é uma definição que auxilia o estudo do movimento, pois produz uma relação matemática que indica qual distância um corpo percorre em determinada unidade de tempo. Geralmente ela é descrita nos livros por meio de uma fórmula com letras indicando o deslocamento, o intervalo de tempo e a velocidade.

Por exemplo, podemos escrever v para representar a velocidade, d para o deslocamento e t para o intervalo de tempo, produzindo a seguinte expressão matemática:



Agora, imagine se resolvêssemos inverter a razão acima, que acabou de ser apresentada. Teríamos uma outra razão, descrita na forma t/d, informando a quantidade de tempo por unidade de espaço. Um cálculo matematicamente possível dentro do princípio e da definição do que é uma razão. No entanto, jamais podendo ser chamado de velocidade.

Lendo a informação de que a velocidade de um carro é igual a 120 Km/h (lemos: 120 quilômetros por hora), estamos lendo que, no intervalo de uma hora, o carro percorre 120 quilômetros. Assim, para sabermos a quantidade de quilômetros na unidade de tempo igual a 1 minuto fazemos uma divisão de 120 Km por 60 minutos, obtendo a velocidade de 2 Km/minuto (2 quilômetros por minuto). Analisando melhor, dentro do intervalo de 1 minuto são percorridos 2 Km



Invertendo essa razão, obteremos a informação da quantidade de minutos gastos em 1 Km, que, para o nosso exemplo, pode ser calculado dando o valor de 0,5 min/km. Apesar de não ser definida como velocidade, a razão de meio minuto por quilômetro é equivalente à razão anterior, de 2 Km por minuto. Matematicamente, nos dois casos, se as razões se mantiverem constantes, estamos informando a mesma coisa:




Além de inverter o cálculo da razão, como nos exemplos acima, a leitura da razão também pode ser invertida, desde que seja mantida a relação matemática.

Explicando melhor, falar 0,5 minuto por quilômetro é o mesmo que falar 1 quilômetro por 0,5 minuto - e essas duas frases nunca poderão ser trocadas pela frase errada "0,5 Km por minuto".

Essas observações são essenciais para mostrar que, desde que haja interpretação, não deveremos ter medo de nenhuma inversão!

Razões

É a divisão ou relação entre duas grandezas
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Quadrilateros

Quadrilátero é qualquer polígono de 4 lados



Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:

Tipos de quadrilateros:
Retângulo
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).





Losango
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.





Quadrado
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.






Trapézio
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.





Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.



Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:

♦ A, B e C são os vértices.
♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , , segmentos de retas.
♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, conseqüentemente, 3 ângulos: Â , , Ĉ ou A C, BĈA, BÂC.


►Tipos de triângulos
♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.

Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes



Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais.



Triângulo eqüilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°.



♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.



Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.




Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.




Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°.

.soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180.
exemplo:




2x+50+30=180
2x=180-80
2x=100
x=100:2
x=50