Evasão escolar por Rafael

A evasão escolar ocorre quando um aluno abandona os estudos e deixa de frequentar as aulas No Brasil, a evasão escolar é um grande desafio para as escolas, pais e para o sistema educacional. Segundo dados do INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Anísio Teixeira), de 100 alunos que ingressam na escola na 1ª série, apenas 5 concluem o ensino fundamental, ou seja, apenas 5 terminam a 8ª série (IBGE, 2007).

Em 2007, 4,8% dos alunos matriculados no Ensino Fundamental (1ª a 8ª séries/1º ao 9º ano) abandonaram a escola. Embora o índice pareça pequeno, corresponde a quase um milhão e meio de alunos. No mesmo ano, 13,2% dos alunos que cursavam o Ensino Médio abandonaram a escola, o que corresponde a pouco mais de um milhão de alunos. Muitos desses alunos retornarão à escola, mas em uma incômoda condição de defasagem idade/série, o que pode causar conflitos e possivelmente nova evasão.

As causas da evasão escolar são variadas. Condições socioeconômicas, culturais, geográficas ou mesmo questões referentes aos encaminhamentos didáticos – pedagógicos e a baixa qualidade do ensino das escolas podem ser apontadas como causas possíveis para a evasão escolar no Brasil.
Os motivos para o abandono da escola

Dentre os motivos alegados pelos pais ou responsáveis para a evasão dos alunos, são mais frequentes nos anos iniciais do ensino fundamental (1ª a 4ª séries/1º ao 9º ano) os seguintes: Escola distante de casa, falta de transporte escolar, não ter adulto que leve até a escola, falta de interesse e ainda doenças/dificuldades dos alunos.

Ajudar os pais em casa ou no trabalho, necessidade de trabalhar, falta de interesse e proibição dos pais de ir à escola são motivos mais frequentes alegados pelos pais a partir dos anos finais do ensino fundamental (5ª a 8ª séries) e pelos próprios alunos no Ensino Médio. Cabe lembrar que, segundo a legislação brasileira, o ensino fundamental é obrigatório para as crianças e adolescentes de 6 a 14 anos, sendo responsabilidade das famílias e do Estado garantir a eles uma educação integral.

Segundo a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB9394/96) e o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), um número elevado de faltas sem justificativa e a evasão escolar ferem os direitos das crianças e dos adolescentes. Nesse sentido, cabe a instituição escolar valer-se de todos os recursos dos quais disponha para garantir a permanência dos alunos na escola. Prevê ainda a legislação que esgotados os recursos da escola, a mesma deve informar o Conselho Tutelar do Município sobre os casos de faltas excessivas não justificadas e de evasão escolar, para que o Conselho tome as medidas cabíveis.

Fontes:

BRASIL, Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Anísio Teixeira. Sinopse Estatística da Educação Básica 2007. Acesso em 14 set. 2009. Disponível em:

BRASIL. Lei 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Diário Oficial da República.

BRASIL, O Estatuto da Criança e do Adolescente. Lei nº. 8069, de 13 de julho de 1990.

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
AB = CD

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:
AB = CD

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
34 = 68

Razões especiais

1-Escala:
É a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real.
E=Desenho
Realidade
exemplo:
Um edifício tem 30 m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15 cm .





ou


Velocidade-
O primeiro passo para interpretarmos, de forma lógica, o movimento dos corpos é compreendermos o conceito de velocidade como a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo gasto pelo corpo que está sendo observado e estudado.
Essa é uma definição que auxilia o estudo do movimento, pois produz uma relação matemática que indica qual distância um corpo percorre em determinada unidade de tempo. Geralmente ela é descrita nos livros por meio de uma fórmula com letras indicando o deslocamento, o intervalo de tempo e a velocidade.

Por exemplo, podemos escrever v para representar a velocidade, d para o deslocamento e t para o intervalo de tempo, produzindo a seguinte expressão matemática:



Agora, imagine se resolvêssemos inverter a razão acima, que acabou de ser apresentada. Teríamos uma outra razão, descrita na forma t/d, informando a quantidade de tempo por unidade de espaço. Um cálculo matematicamente possível dentro do princípio e da definição do que é uma razão. No entanto, jamais podendo ser chamado de velocidade.

Lendo a informação de que a velocidade de um carro é igual a 120 Km/h (lemos: 120 quilômetros por hora), estamos lendo que, no intervalo de uma hora, o carro percorre 120 quilômetros. Assim, para sabermos a quantidade de quilômetros na unidade de tempo igual a 1 minuto fazemos uma divisão de 120 Km por 60 minutos, obtendo a velocidade de 2 Km/minuto (2 quilômetros por minuto). Analisando melhor, dentro do intervalo de 1 minuto são percorridos 2 Km



Invertendo essa razão, obteremos a informação da quantidade de minutos gastos em 1 Km, que, para o nosso exemplo, pode ser calculado dando o valor de 0,5 min/km. Apesar de não ser definida como velocidade, a razão de meio minuto por quilômetro é equivalente à razão anterior, de 2 Km por minuto. Matematicamente, nos dois casos, se as razões se mantiverem constantes, estamos informando a mesma coisa:




Além de inverter o cálculo da razão, como nos exemplos acima, a leitura da razão também pode ser invertida, desde que seja mantida a relação matemática.

Explicando melhor, falar 0,5 minuto por quilômetro é o mesmo que falar 1 quilômetro por 0,5 minuto - e essas duas frases nunca poderão ser trocadas pela frase errada "0,5 Km por minuto".

Essas observações são essenciais para mostrar que, desde que haja interpretação, não deveremos ter medo de nenhuma inversão!

Razões

É a divisão ou relação entre duas grandezas
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Quadrilateros

Quadrilátero é qualquer polígono de 4 lados



Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:

Tipos de quadrilateros:
Retângulo
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).





Losango
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.





Quadrado
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.






Trapézio
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.





Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.



Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:

♦ A, B e C são os vértices.
♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , , segmentos de retas.
♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, conseqüentemente, 3 ângulos: Â , , Ĉ ou A C, BĈA, BÂC.


►Tipos de triângulos
♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.

Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes



Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais.



Triângulo eqüilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°.



♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.



Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.




Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.




Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°.

.soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180.
exemplo:




2x+50+30=180
2x=180-80
2x=100
x=100:2
x=50

Ângulos opostos pelo vertice(O.P.V)

Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V)
O é o vértice dos ângulos m, n, r e d

Analisando a figura notamos que, m e n são ângulos opostos pelo vértice, o mesmo acontece com os ângulos r e d.
Os ângulos opostos pelo vértice são ângulos congruentes (iguais).
Logo:
m = n e r = d
Observamos também que:
m + r = 180º, m + d = 180º, n + r = 180º, n + d = 180º

Exemplos:
Temos:

a = 45°
São ângulos opostos pelo vértice, logo são ângulo iguais.

Temos:
a + 20º = 180º
a = 180º - 20º
a = 160º

São ângulos suplementares, logo a soma entre eles é igual a 180º.



3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais.

3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º

m + 10º e n, são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º.

(m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º

Resposta: m = 11º e n = 159º

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau
Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.

Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)

2x < 7
x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0.

Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2


Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x = 3

Sistemas de Equações do 1º Grau

SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, x e y, por exemplo, significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema. Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição, substituição e comparação.

Exercícios Resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.

2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta: Esse número é 45.

3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta: Esse número é 8.

4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta: Esse número é 83.

5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.

1º par: A (4, 0)

2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x


y

4


0

0


4





Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.



Sistemas de Equações

Considere o seguinte problema:

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

x + y = 25 (total de arremessos certo)

2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações.



Costuma-se indicar o sistema usando chave.



O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema.

Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.



Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:



Método de substituição



Solução

· determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

· Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3

· Resolvemos a equação formada.

8 - 2y - 3y = 3

-2y - 3y = 3

-5y = 5 (-1)

5y = -5

y = 5/3

y = 1

· Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3

· A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}



Método da adição

Sendo U = Q x Q, observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:





Solução

· Adicionamos membros a membros as equações:



2x = 16

x = 16/2

x = 8

· Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
V = {(8, 2)}
Sistemas de Equações

Considere o seguinte problema:

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

x + y = 25 (total de arremessos certo)

2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações.



Costuma-se indicar o sistema usando chave.



O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema.

Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.



Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:



Método de substituição



Solução

· determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

· Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3

· Resolvemos a equação formada.

8 - 2y - 3y = 3

-2y - 3y = 3

-5y = 5 (-1)

5y = -5

y = 5/3

y = 1

· Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3

· A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14
Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;

Um sinal de igualdade, denotado por =.

Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;

Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2x + 2 = 14
1o. membro = 2o. membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14 Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros
x = 6 Solução
Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:

c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:

a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000

Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações

1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.




Sistemas linear de equações do primeiro grau
Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

2 x + 3 y = 38
3 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.

x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) }


Método de substituição para resolver este sistema
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 38
3 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:

2x + 3y = 38 Primeira equação
2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos 3y de ambos os membros
2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2
x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y

Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

3x - 2y = 18 Segunda equação
3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses
57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2
114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes
114 - 13y = 36 separamos variáveis e números
114 - 36 = 13y simplificamos a equação
78 = 13y mudamos a posição dos dois membros
13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6
y = 6 Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:

x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema:

x + y = 2
x - y = 0

Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.


Relação entre sistemas lineares e retas no plano
No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = c
Reta 2: dx + ey = f

Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.



Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:

Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações

Tipos de retas Sistema
Concorrentes x + y = 2
x - y = 0
Paralelas x + y = 2
x + y = 4
Coincidentes x + y = 2
2x + 2y = 4

Problemas com sistemas de equações:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

C + A = 22
C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

A + B = 100000
A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

3D + O = 260
O = 140

Resposta: D = 40

HOSPEDAGEM

Pré-requisitos equação

Pré-requisitos equação
adição
multiplicação
subtração
números inteiros
divisão